Progmeistars - новости

Кружок по информатике и математике для 9-10 кл.	03.10.2008 00:00
“Геометрия и алгоритмы: разрешимые и неразрешимые задачи”. Руководитель кружка С.И.Мельник. Занятия планируется проводить по пятницам в 17.00. Первое занятие состоится 10 октября. Желательно, записаться у администрации, тел. 67336035, 26428902. Если взглянуть на деятельность программиста с каких-нибудь космических высей, откуда неразличимы детали и частности, то оказывается, что всё, что он делает – это управляет битами в оперативной памяти, имея конечной целью получить конфигурацию битов, удовлетворяющую некоторым заранее известным программитсту условиям. При этом возможности управления ограничены некоторым, сравнительно небольшим набором команд, предоставляемых процессором. Заменим в этом примитивном описании биты точками, а систему команд процессора геометрическими инструментами – и получим (столь же приблизительное) описание деятельности античного геометра. Точнее, одного из главнейших аспектов этой деятельности – решению задач на построение. Программист ограничен системой команд процессора, древнегреческие геометры ограничивали себя в построениях циркулем и линейкой, причём во всех построениях линейка служит только для того, чтобы проводить прямую, но не для измерения расстояний. С помощью циркуля и линейки можно выполнить очень много разнообразных построений: разделить пополам отрезок или угол, провести через точку перпендикуляр к данной прямой, вписать в данный круг правильный 3-, 4-, 5- и 6-угольник и т.д. Однако способ посторения правильного семиугольника найти не удалось, несмотря на упорные поиски. Также долго и безрезультатно разыскивались решения ещё трёх знаменитых задач древности: трисекция угла (разделить на три равные части данный произвольный угол), удвоение куба (построить сторону куба, объём которого в два раза больше данного куба) и квадратура круга (построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга). Привлечение других инструментов позволяет решить эти задачи, и это тоже было известно уже в античности. Скажем, задача удвоения куба может быть решена, например, с привлеченипем угольника с прямым углом. Однако решить перечисленные задачи, пользуясь только циркулем и линейкой так и не удалось. Несколько столетий безуспешных поисков утвердили подозрение, что найти решений невозможно. Но, если найти что-либо существующее или хотя бы доказать само его существование, как бы трудно это ни было, по крайней мере не вызывает проблем с постановкой проблемы, то вопрос о несуществовании какого-либо объекта или процесса требует уточнения уже на этапе постановки: как же всё-таки в принципе можно доказать, что та или иная проблема не может быть решена? Строгие доказательства невозможности трисекции угла, построения правильного семиугольника и удвоения куба с помошью одних только циркуля и линейки было получено только в XIX веке, и доказательства оперировали в основном алгебраическими понятиями, а вовсе не геометрическими – т.е. дорога оказалась совсем не короткая и не простая. Разумеется, когда дорога пройдена, она выглядит гораздо проще, можно забыть про все неудачи и тупики, так что сейчас мы можем пройти этот путь на занятиях кружка. Заметим, что природа невозможности квадратуры круга существенно сложнее, так что её мы трогать не будем. На занятиях кружка мы сосредоточимся не на отрицательной стороне вопроса, а, наоборот, придадим ему положительный характер: постараемся как-то охарактеризовать все возможные построения с помощью циркуля и линейки (и убедимся, что решения всех трёх перечисленных задач не попадают в класс возможных построений). Попутно мы, вполне естественно, рассмотрим и ряд геометрических задач на построение, допускающих решение, в том числе и довольно непростых задач. Планируется рассмотреть такой мощный метод решения геометрических задач, как инверсия, и решить, в частности, задачу Аполлония: построить окружность, касающуюся трёх заданных окружностей. Посмотрим, что получится, если мы ещё сильнее ограничим набор возможных операций (или, в данном случае, инструментов), например, откажемся от линейки или циркуль «заржавеет». Коротко формулируя, мы попробуем взглянуть на геометрию, как на алгоритмическую задачу – взгляд, свойственный программистскому подходу к решению проблем. Разумеется, при таком подходе неизбежны отклонения к негеометрическим задачам, имеющим значимое алгоритмическое содержание. Кружок ориентирован на учащихся 9-10 классов. Минимальные требования к участникам – умение решать несложные геометрические задачи на построение, например, уже упоминавшиеся: разделить пополам отрезок или угол, провести через точку перпендикуляр к данной прямой, вписать в данный круг правильный 3- и 4-угольник и т. д.
источник: progmeistars